制和十进制的小数换算，在数学史上是一项开创性的工作。
  朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地
  将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱
  载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述
  十二平均律的，这就是：将八度音程比值2进行12次方根运算，第12次方
  根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音
  高除以半音音程值，连续作这样的12次运算，就得到了十二平均律的各个音
  高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。
  六、物理学
  在声学方面，朱载堉对乐器的共振现象作了细致的分析。在今天看来，
  二个音的振动频率成整数比或简单分数比，就可以发生共振，在音乐学上，
  就能产生悦耳的和声效果。在朱载堉看来，成整数比的二个音称为“正合”，
  成简单分数比的二个音称为“旁合”，并且说，“旁合为和，正合为同”。
  “正合”也称为“应”，“弹宫宫应，弹徵徵应，日应；弹宫徵和，弹徽商
  和，日和。”他又说，“凡丝弦之属，宫与宫协为正合　（商以下做此）；宫
  与徵协为旁和（商与羽协，羽与角协做此）。正合为同，旁合为协。”“筝
  弦隔六为正合，隔三隔四为旁合”。
  在瑟中，他又详细举了撮八　（又称隔八）为正合，而上生撮四、下生撮
  五为旁合。例如，瑟第1与第8弦，第15与第22弦皆为宫音，第2与9，
  第16与第23弦，皆为商音；第3与10，第17与24弦皆为角音；第4与11，
  …　Page　13…
  第18与25弦皆为变徵音；第5与12，第19弦皆为徵音；第6与13，第20
  弦皆为羽音；第7与14，第21弦皆为变宫音。这些弦都是撮八正合音。这
  些音是纯八度相合。由弦线较长的音生弦线较短的音为下生，即由低音生高
  音，如宫与徵，商与羽，角与变宫等为旁合，亦即撮五旁合，反之为上生，
  则是撮四旁合，如变宫与变徵，羽与角，徵与商等。这些音是纯五度相和。
  这些发音分析，在音乐物理学上又称为谐和分析，也是和声学中的基本内容
  之一。在音乐实践中，朱载堉吸取了民间笙师的经验，利用复音乐器笙的几
  个和声管来验证律管和其它乐器的发声，作了极好的和声实验。
  为了要测定准确的黄钟律管，朱载堉认为，不能以黍粒决定它的容积，
  而改用水银。因此，他相当准确地测定了水银密度。他所测定的水银密度与
  3
  现代测定的水银密度比较，当0℃时，误差为＋0。2672克/厘米　。当20℃时，
  3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3
  误差为＋0。3165克/厘米　。平均误差为0。2912克/厘米　，近似于0。3克/厘
  3
  米　。其精确性令人惊讶。
  朱载堉的又一个物理学工作是测定了地磁偏角。在世界上最早发现地磁
  偏角的是宋代沈括，但他没有具体记下偏斜角度及地理位置。朱载堉用“正
  方案”对地磁偏角作了具体的测定。所谓“正方案”，它是由郭守敬发明的
  一种利用桌影来测定南北方向的仪器。桌置于该仪器平板的中心，以此中心
  为圆心画有同心圆若干。同心圆可按需要画上刻度，如朱载堉将圆分为百刻。
  当南北方向测定后，指南针的方向与南北方向的夹角即是磁偏角。根据朱载
  堉的测量，其地磁偏角为
  1
  1
  3
  ×360°=　4。8°=　4　°48　′
  100
  朱载堉是在1567—1581年间在北京测得的这个磁偏角。也就是说，在那
  个时候北京的磁偏斜为偏离地理南北方向朝东4度48分。
  七、音乐的艺术实践
  王国维讲治学的三种境界，其第一境界用宋代词人辛弃疾的话“昨夜西
  风凋碧树，独上高楼望尽天涯路”，写出了大学问家未被世人普遍认识时的
  孤独之感与造诣的独到。朱载堉就是处于这种境遇。由于朱载堉并未得到当
  时人的真正理解，因此，我们从他同时代的记述中找不到他在音乐活动中的
  全面的、或稍为具体的材料，没有什么史料可以说明他怎样精通古乐器的演
  奏，他是否长于歌唱，他作过多少乐曲，等等。但是，只凭《乐律全书》就
  可以看出，他在音乐艺术领域中已是一个十分全面的实践家。他不但常和琴
  家交往，还能虚心地向点笙匠请教乐器工人的技艺问题他也注意总结、记录。
  他的乐艺宫廷的专业乐工遇到实际问题时，还要来向他讨教，就可知道他的
  造诣达到什么水平了。
  朱载堉最重要的音乐实践，就是恢复旋宫古法。旋宫，用现代概念说，
  就是调高的改变。按民间的一般说法，就是调门高低的变化，一段音乐，原
  来是C调（以C音作宫音），又变到G调（改用G音作宫音）去演奏、演唱，
  这就是旋宫。同一段音乐当中，前面是C调的，后面又变成别的调门，这也
  是旋宫。先秦的古乐就是用旋宫法的。但自汉以来，旋宫法失传了。汉以后，
  律学研究中的许多创造，可以说是围绕着旋宫古法这个课题在那里发展的。
  …　Page　14…
  原因是古法失传，而传下来的三分损益法很难解决自由旋宫问题。这使律学
  家们不得不绞尽脑汁去探寻各种新的途径。真正彻底地从理论到实践解决了
  旋宫问题的，就是朱载堉的新法密率，也就是现在世界上通用的，平均律的
  调律法。
  朱载堉恢复旋宫古法，在律学上并不是“恢复”古代原有的东西，而是
  全新的创造，在音乐实践上是真正地实现了汉以来律学家的梦想，使失传了
  的东西重新“活”了起来。
  朱载堉创造了新法密率，并不曾停留在理论创造之上，他是为实践而创
  造的。他不仅是一个理论的大师，同时也是一个身体力行、亲身从事音乐实
  践的大师。他是律学家，也是音乐家。
  旋宫法是“乐学”问题，也就是说，是音乐基本理论问题，实际属于与
  音乐实践直接相关的一种应用理论。要恢复旋宫古法，古乐已经没有了，又
  怎样恢复呢？朱载堉紧紧抓住了“今乐”的实践，他在《乐学新说》中说：
  “借今乐明古乐不亦可乎？……用旋宫法拟造新谱，使后世为乐律之学者观
  之，深信古乐见存，未尝失传也！”音乐作为时间的艺术，流动性极大，不
  可能像美术作品那样用实体的形式再现古代的原有情况。但是古乐所用的旋
  宫法却是可以重现的。朱载堉在音乐艺术上的古今观也许和孟子的“今之乐
  犹古之乐也”有同道之处，但更主要的东西恐怕更接近唯物主义哲学家张载
  的看法。他在《律吕精义》中引用张载的话说：“今人求古乐太深，始以古
  乐为不可知。”这句话的背后涵义认定古乐是可知的。求其大体，掌握它的
  精神、方法，这就是继承，求之太深，搞饾饤（dòu　ìngd）之学，要求不可
  能实现的原样再现，那就不可知了。
  朱载堉在旋宫实践上是“用旋宫法拟造新谱”，通过自制乐器、作曲、
  改编、演奏和教学、教唱活动，足踏实地作了艰辛的探索。他为旋宫实践写
  了许多乐曲，采用了各种谱式：律吕字谱、宫商字谱、琴谱、瑟谱、工尺谱、
  以至于总谱形式的“合乐谱”。数量之多，决不是浅尝辄止的做法。朱载堉
  自制的乐谱，有一部分是为“教学歌人”而用的。在音乐艺术实践活动中，
  他也是一个很注意教学方法、善于运用直观教具的好教师。
  朱载堉恢复旋宫古法的科学根据就是他的平均律理论　（新法密率）以及
  他自己设计制作、用形如芥子的金属“徵”标明“新率”发音位置的乐器，
  即他的“新制律准”。因此，他的新法密率并不是在旋宫实践面前停止了脚
  步的一种纯理论计算。旋宫法得不到平均律的实践运用时只不过是一种空
  想；平均律不付诸旋宫实践时也不过是空论。朱载堉创制了《旋宫谱六十调
  指法》和《旋宫琴谱》。这是朱载堉在自己的艺术活动中亲身实践了平均律
  的重大证据，也是朱载堉在艺术实践中对新法密率的一次闪耀着光辉的检
  验！
  在中国音乐史上，朱载堉如果不是第一个系统地提出了音乐教学法的
  人，也是其间的先行者之一。他作为16世纪下半叶的音乐家，当时提出这方
  面的问题，对世界音乐文化史说来也不是后知后觉的。中世纪以前的音乐史
  中，即使如我国的特殊历史条件那样重视礼乐传统，音乐的教学活动也是以
  “口传心授”为特点的。人存事兴，人亡事废，一切都维系于经验。所以，
  汉代的制氏家族一遇变故，就造成中断先秦雅乐的结果；唐代宫廷乐工李郎
  子逃走，宫廷中的清乐立即失传。唐、宋间记谱法的发展已经提供了比较详
  细地记录音乐的可能性。但是历史仍然自有规律，音乐教学仍然不能像文字
  …　Page　15…
  那样积累起循序渐进的书面教材。
  朱载堉注意到了音乐教学法的系统化问题。他为音乐教学编写了大量的
  乐谱，至今还保存在《乐学新说》、《律吕精义》的《内篇》、《外篇》以
  及四、五种以“乐谱”命名的著作之中。他对循序渐进的教学系统的主张则
  集中在《律吕精义·外篇》与《操缦古乐谱》二书之中。
  他把歌曲的教学提到了第一位。在《操缦古乐谱》的序中朱载堉特别强
  调了音乐应该以人声为主的思想，他说：“永者声气之元，乐之本也”，并
  对“学乐自赓歌始”作了专题论述，详细说明了如何逐句教唱的方法和步骤，
  以及指导初学音乐者的办法等。
  朱载堉还充分认识到乐器伴奏是唱歌教学中不可缺少的一环。在《律吕
  精义·外篇》卷八中着重论述了“弦歌二者不可偏废”的命题，并且采且《夏
  训》、《商颂》、《南风之诗》等古歌词，编写了乐谱和乐队合乐谱，作为
  “教学歌人”之用。他在《乐律全书》中多处强调了“操缦”的基本训练。
  “操缦”就是弦乐器的定弦与弹奏，学习操缦，意在弦歌。把操缦作为准确
  的演唱方法。他多次地重复“论学歌诗六般乐器不可缺”的命题，也是这个
  意义。
  自古以来的“口传心授”教学，即使采用了一定的乐谱，也都不用有量
  记谱法。今人见了古谱如此，误以为古乐都是一字一音。朱载堉论“弦歌”、
  论“操缦”，大力批驳了这一谬误，力图在音乐教学中引进尽可能精密的、
  科学的有量记谱法。
  朱载堉作曲甚多，但大都为“教学歌人”而作，他主要是一个音乐学家
  而不以作曲家名世。作为一个深入艺术实践的音乐理论家，他却是一个能在
  作曲问题上尊重艺术规律，摒弃种种教条束缚的人。
  古来论乐皆文人，而文人往往并不真正懂音乐。他们耻于下问，不肯向
  实践者请教，却要装出一副高深莫测的样子，为实践者树立许多障碍和人为
  的规矩。明代虽也产生过不少大学问家，但也有不少这样的儒者，以致在学
  术史上出现了尽人皆知的“明儒鄙陋”的情形。
  李文利、张敔　（yǔ）、黄积庆都号称知乐。他们都宣称，在音列的使用
  中，变宫音（应钟）以上不许用高音，宫音（黄钟）以下不许用低音。朱载
  堉在理论上用律学的根据批驳了这种谬论，又在实践上“引太常乐谱为证”
  说明这种规定是不符合实际的。
  李文察自己作曲的《青宫乐章》，用五声音阶配五字句，机械地采用同
  一个曲调，逐句降低半音，每句旋宫一次，十二句唱到底。这显然是作者本
  人都无法演唱的、书斋中的理性产物。朱载堉一针见血地说：“文察本不知
  音，而乃强作解事……鄙俚谬妄，识者无不笑之。”这当然无需再作什么批
  ?