距二次差内插法、等差级数法和坐标变换法
  三种。
  我们先来概括一下等间距二次差内插
  法的算式：
  …　Page　20…
  t　　　　△
  …　Page　21…
  朔到定朔的改正值　T（后用T示之）。式
  ⊙
  中的t系指某节气初日与平朔时刻的间距，
  t的含义同第二，T为某节气因太阳运动不
  0
  均匀导致的平朔的定朔的改正值，△　和△
  1　　　　　　　　　2
  分别为某节气后相邻两节气的　T之差。T
  0　　　　　　　　　　　　　　　　0
  （“迟速数”）、△和△　（“陟降率”）
  1　　　　　　　　　　2
  也可由日躔表查得。
  第四：欲求因月亮运动不均匀导致的平
  朔到定朔的改正值　T（后用T　表示）。式
  月
  中的　t系指该日平朔时刻与最临近的一次
  月亮过近地点时刻之差，t＝1日，T为同该
  0
  日月亮实行度与平行度之差相应的时刻
  值，△　和△　分别为同该日后相邻两日　T
  1　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
  值有关的数值。T（“胱朒积”）、△和
  0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1
  △　（“加减”）都可由月离表中查得。
  2
  有了以上二术，则有
  定朔时刻=平朔时刻＋T＋T
  ⊙　　月
  这就是皇极历计算定朔的方法，是我国
  古代最早同时虑及日、月运动不均匀对真正
  合朔时刻影响的定朔法，在我国古代历法史
  上占有很重要的地位。等间距二次差内插法
  对于提高天文量计算的精度也起了良好的
  作用。
  …　Page　22…
  四、皇极历　（二）
  皇极历还首创了等差级数的表述和计
  算。如在应用O一方法。昼夜漏刻长度表计
  算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘昼
  夜漏刻长度表计算任一时日的昼夜漏刻长
  度　（K）时，刘焯给出了二十四节气初日的
  初数　（L），又给出相邻两节气间每日增或
  减的等差数　（△），如“每日增大”、“每
  日增少”等等。已知该日所入节气及入该节
  后　的　日　数　（t　）　即　可　求　出
  0
  t0
  t　　=　0。1，…，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的夜半漏刻
  …　Page　23…
  数与相应的赤道度数相减，即得该赤道度数
  （或黄道度数）下的黄赤道差。
  刘洪将张衡黄赤道差的计算法首次引
  人到历法以后，沿用了几百年，到刘焯的皇
  极历又有了新的算法。
  张衡的黄赤道差的计算法以每经赤道
  五度为一限，刘焯以四度为限，在这一点上
  没有什么本质区别。但刘焯以为每一限黄赤
  道差的数值是以等差级数变化的，如“每限
  增一”、“每限损一”等等，这就比张衡以
  每一限黄赤道差为一个常数有所改进。
  刘焯黄赤道差计算法的误差为0。24°；
  与张衡法的水平相当。
  刘焯在坐标变换法方面更主要的贡献
  是首创了黄白道差　（黄道度与白黄度之差）
  计算法。对黄白道差计算法的描述方式与黄
  赤道差计算法相同，误差为0。13°。这些新
  算法也对以后产生了很大影响。
  张子信曾经在一个海岛上，制作了一架
  浑仪，专心致志地观测，研究日月交食的发
  生时刻，发现了太阳运动的不均匀性、五星
  运动的不均匀性和月亮视差对日食的影
  响。
  张子信的这三大发现，以及给出这三大
  发现具体的、定量的描述方法；把我国古代
  对于交食等天文现象的认识推进到一个新
  的阶段，为一系列历法问题计算的突破性进
  …　Page　24…
  展开拓了道路。
  刘焯在吸取了张子信等前人的研究成
  果，并经过自己的长期探索以后，创立了一
  整套日月交食的推算法。
  刘焯首先是创立了月亮入交定日（p）
  和太阳入会定日　（q）的计算法：
  交率
  P　=　入交平日及余±T⊙±交数×T月
  交率
  ｑ=　入会平日及余±T月±交数×T⊙
  以这两个公式计算月亮、太阳与黄白交
  点的时距　（p和q）时，既考虑了太阳、月
  亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点
  退行的影响。它的天文概念十分准确和清
  晰。
  其次，刘焯扩充了交食食限的概念和改
  进了食分的计算法。
  皇极历给出的月食食分　（g　）的算式
  月
  为
  望差=　｛去交日分…　＇3K至　＋　2　　　　　　　　　　　　　（10＋　S）＋　2K分＇｝
  g　月　=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　96
  式中望差为朔望月长度与交点月长度
  之差的一半。去交日分即上述P值。K　为
  至
  发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节
  气距夏至的节气数　（0－12）；K为发生在
  分
  …　Page　25…
  春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或
  秋分）的节气数（0－6），如果望日在春分
  （或秋分）后，K=0。s为去交日分所相当
  分
  的时辰
  4205。5
  数（0　－14）。因为望差
  …　Page　26…
  96　×15
  …　Page　27…
  96　×15
  …　Page　28…
  96　×15
  …　Page　29…
  望差…　去交日分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　M
  g　⊙　=　　　　　　　　　　　　　　望差　　　　　　　　　　　　　　　　×15
  …　Page　30…
  五、皇极历　（三）
  刘焯还发明了日月食初亏和复圆时刻
  计算法。
  算式是：初亏时刻=食甚时刻…H；复圆
  时刻=食甚对刻＋H，日月食的全部见食时刻=
  复圆时刻…初亏时刻=2H。而
  （300
  …　Page　31…
  亮视差。同理，太阳视、真位置的高度差叫
  做太阳视差，但它要比月亮视差小得多，几
  乎可以忽略不计。当合朔时，如果月亮位于
  太阳之北时，由于月亮视差的影响，月亮的
  视位置南移，使日、月视位置彼此接近；如
  果月亮位于太阳之南，同理，将使日、月相
  对视位置增大。这些就是张子信所发现的上
  述现象的原因所在。所以，张子信的上述发
  现实际上就是关于月亮视差对日食是否发
  生所产生的影响的发现。
  刘焯列出了9种日应食不食和7种日不
  应食而食的判据，每一种判据又均与朔时月
  亮去交度分，所值季节和距午正时刻三种要
  素相关。
  刘焯所列的16种判据都定性地与月亮
  视差对日食影响的原理相符合，这是对张子
  信当年发现的极重要的补充和发展。
  刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为
  月亮在黄道南、黄道北两种情况，每一种情
  况又分为交食发生在观测者的正南、正东、
  正西、东南和西南前后等　7种不同的方向
  时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终
  了的方位等内容。这是我国古代对交食亏起
  方位所作的最详尽的描述。
  刘焯的这一整套交食推算法的创立，标
  志着我国古代的交食研究进入了一个崭新
  的时代。与交食推算法具有同样划时代意义
  …　Page　32…
  的发明，是他所创立的五星位置计算的新方
  法。欲求任一时日　（A）五星的黄道宿度，
  刘焯创立了以下步骤：
  第一：求出历元到A的积日数，减去五
  星伏日数的一半，其差数以五星会合周期除
  之，所得余数　（B）是为A与最临近的一次
  五星晨始见东方时刻（平凡日）间的时距。
  由于五星会合周期实际上是相当数量的实
  测五星会合时间的平均值，所以由它算得的
  平见日（A…B）可以认为是以五星和太阳均
  作匀速运动为基础求得的。又以积日数除以
  回归年长度，所得余数（C）则为所求年冬
  至夜半与A的时距，由此也可以知道A值的
  节气。
  第二：求五星运动不均匀引起的改正
  值。在皇极历中给出了因所处节气不同，五
  星平见日或者是超前，或者是滞后的时间改
  正表。以C为引数，依照一次差内插法则可
  由这些表格算得相应的改正值（t）。
  0
  刘焯称A…B±t为常见日。
  0
  刘焯对金、水运动不均匀性改正的描述
  只是定性的；而对于木、火、土三星的近日
  点、远日点黄经测算和三星运动不均匀性改
  正的误差见表1
  从表1可知，这三项误差的精度还是比
  较低的。
  第三：求太阳运动不均匀引起的改正
  …　Page　33…
  值。由日躔表依等间距二次差内插法求算
  之，以C±t为引数，它相当于计算平朔到
  0
  定朔的改正　（T）值中的“平朔时刻”值。
  ⊙
  刘焯称A…B±t±T为定见日　（E）。
  0　　⊙
  第四：求定见日五星所在黄道宿度
  （R）。
  皇极历以历元年冬至夜半时太阳位于
  黄道虚宿一度，由此后推积年（自历元到所
  求年的年数）乘以黄道岁差度，可得所求年
  冬至夜半时太阳所在黄道宿度　（R）。又以
  0
  C±t±T为引数，它相当于计算太阳实行
  0　　⊙
  度与平行度之差（T）值中的“所求时日”
  *
  值。则定见日太阳所在黄道宿度为：R＋C±
  0
  t±T±T。又已知五星定见日与太阳的度
  0　　⊙　　　　　　　　　　　*
  距　（F）分别为木星14度，火星16度，土
  星16。5度，金星11度和28水星17度，于
  是R=R＋C±t±T±T±F
  0　　　　　　　　　　0　　⊙　　　　　　　　　　　*　　0
  第五：求所求时五星所在黄道宿度
  （I）。以A…E为引数，可由五星动态表求
  得定见日到A的五星行度值（V），于是
  t=R＋V
  0
  …　Page　34…
  在皇极历以前各历法的五星动态表，均
  由五星晨见始，依次列出前顺、留、逆、留、
  后顺、伏等动态所经的日数和所行的度数，
  它们均与这些动态所值的节气无关。
  皇极历的木、土二星动态表与以前的动
  态表相仿，而对火、金和水三星的动态表则
  作了重大的改进，对于前顺和后顺两个动态
  时段，均依照它们所值的节气不同，给出了
  不同的运动?