动是不均匀的，所以那时采用的是手朔，朔
  是不能真正反映合朔时刻的，要想解决这个
  问题就要根据日月运动的不均匀性考虑一
  个定朔的办法来解决，而开皇历也没有这种
  定朔法，所以不可能不引起刘焯等人的激烈
  反对。
  刘焯和刘孝孙据理力争，批评多切中要
  害，表现了极大的坚持真理的勇气和很高的
  天文学素养。但是，事与愿违，刘孝孙却因
  此被扣上非毁天历，率意迂怪的大帽子，刘
  焯也被加上妄相扶证，惑乱时人的罪名。这
  对于刘焯来说是一次沉重的打击，也给他的
  仕途蒙上了浓暗的阴影。虽然是这样，刘焯
  能够和刘孝孙交往和共事，对于他在历算研
  究方面的长进还是获益非浅的。
  刘焯在参加第一次历法之争失败以
  后，被调到门下省，以备皇帝顾问。随后不
  …　Page　12…
  久又被授予员外将军之职。后与诸儒于秘书
  省考订儒家经典，并曾一度返回故乡，县令
  韦之业请他做了功曹之职。
  公元586年，刘焯复返京师，奉命与刘
  炫等共同考定由洛阳运到长安的文字磨灭
  的石经，以补正这些磨损的部分，可见刘焯
  对儒家经典深有研究，而且在当时颇孚众
  望。其后，在国子监与左仆射杨素、吏部尚
  书牛弘、国于祭酒苏威（534——621）、国
  子祭酒元善、博士萧该、何妥、太学博士房
  晖远、崔崇德、晋王文学苏赜等群儒共论古
  今经籍的滞义，前贤不能做出确切解释的，
  每次入座后，都要论难蜂9起，刘焯以他的
  精博，使众不能屈，杨素等人都不得不佩服
  他。
  公元590年，刘焯在国于监举行的祭奠
  孔子的典礼上，和刘炫一起与群儒辩难、深
  挫诸儒，为一些人所忌恨，于是有人上呈奏
  章，谤其非是，他就被革职为民了。这件事
  是他被革职的直接原因，深层的背景可能是
  他少年前在历法之争中的原因。
  刘焯只得回到了故里，专以教授，著述
  为业，孜孜不倦，前后共10多年。在儒家
  经典方面，他主要研究的是贾逵、马融、郑
  玄等古文经学家所留下的典籍，匡正讹误，
  阐发新义，著有《五经述议》一书；一方面
  他又着力研习东汉前期的《九章算术》、西
  …　Page　13…
  汉中期的《周髀（bì）算经》、《七曜历书》
  等10余部历算名著，无论究其根本，穷其
  秘奥，把天文历算的研究引向深入。著有《稽
  极》10卷，是关于前代历家同异的比较研究
  成果，因为其书早佚，我们无法知道这部书
  的详细内容。还著有《历书》10卷，这部书
  的主要内容就是刘焯后来上呈的皇极历。
  刘炫也是聪明博学的人，但是名气排在
  刘焯之后，所以当时的人就称他们两人为二
  刘。在研究、著述的同时，刘焯还从事大量
  的教育工作，天下名儒后进，质疑授业，不
  远千里而至者，不可胜数。人们认为，几百
  年以来，博学博儒，没有比他更强的了。但
  是他空怀旷世之才，又因为家境不富裕，没
  有交给他吏修（干肉条，学费的代称，源于
  孔于）的学生，他不能尽心尽力地去进行教
  诲，所以也有人因为这件事而批评他。
  刘焯虽然身居乡里，对于当时历算界的
  动态及其进展却十分关心和了解，并多次参
  与改革历法的争论。
  当时有个叫张胄玄（526－－612）的天
  文学家，勃海湾（河北景县）人，博学多通，
  尤其精于天文历算之学，久居于民间，一直
  未被朝廷所知。
  公元585年，张胄玄和李文琮一起曾编
  制了一部历法准备上献给朝廷，由于当时刚
  刚颁行张宾的开皇历，所以他们的历法未被
  …　Page　14…
  采纳。但是，他们的历法却在民间得到了广
  泛的流传和应用。
  公元590年，经由冀州刺史赵煚的推
  荐，年过六旬的张胄玄才开始到京师长安的
  太史任职，授为云骑尉，参议天文历法之
  事，也曾与刘孝孙一起对张宾的开皇历提出
  了尖锐的批评意见。
  公元593年，为鉴别各家历法的优劣，
  太史提出古今日食观测记录25事，依张宾
  的开皇历推算，合者甚少，依刘孝孙法推
  算，合与不合各半；而依张胄玄法所推大多
  符合。这引起了隋文帝的重视，又因为张胄
  玄称言入隋以来白昼时间增长等瑞兆，隋文
  帝大悦，就命令张胄玄、袁充等参定新术，
  制定新历法。
  刘焯闻讯后，便在刘孝孙历法的基础
  上，增损改进，献上了《七耀新法》以备选
  用　（这时刘孝孙已去世。但是，刘焯的《七
  耀新法》与张胄玄的历法，矛盾比较多，因
  为张胄玄和袁充都有宠于隋文帝，两个人合
  起来排斥刘焯，刘焯只好作罢。这是刘焯参
  与的第二次历争，也以失败告终。
  …　Page　15…
  三、皇极历　（一）
  公元600年，皇太子杨广征召全国的历
  算专家，都集中在东宫，共同商议历法的事
  情。
  刘焯也在杨广这次征召的人员之内，这
  回他献上了经过几十年研究的皇极历，并且
  驳正张胄玄历法的错误。
  刘焯在他的皇极历中，给出了一批十分
  精确的天文数据，在他以前各历法所取近点
  月长度值的误差多大5秒左右。甚至有达　10
  多秒的，而他所取的值
  1255
  为27　　　　　　　　日，误差0。8秒，精度远远地超过前人，而且与后世的历法
  2263
  比较，这个值的精度也属于上乘。对于月亮
  每天的平均行度，他取13。36879度，与这
  个数字相应的恒星月长度则是　27。321675
  日，误差为1。3秒，它比较前代各个历法（误
  差多为5秒左右）的精度也高得多。他取食
  年长度为346。619338日，误差为24秒，这
  个精度也是前所未及的，后世也只有唐末边
  风的崇玄历（公元892年完成，误差15秒）
  和北宋末姚舜辅（活跃于1102——1110年）
  的纪元历（1106年造，误差7秒）。
  这刘焯还最早提出了黄道岁差的概念
  和具体数值，这一概念是从他的先辈所发明
  …　Page　16…
  的赤道岁差概念引申出来的。在计算太阳行
  度时，计人黄道岁差的影响。比较用赤道岁
  差入算要科学和合理得多，这个原因可能就
  是他阐明和采用黄道岁差概念的出发点。
  609。5
  刘焯所用的黄道岁差值是1年差　　　　　　　　　　　　　　　　　　度，这相当于76。3年差
  46644
  与这个数值相对应的赤道岁差值是83。5年
  差　1度，这个数值的精度比前代各家都要
  高，而且对唐代以及北宋一些历法产生了很
  大的影响。对于其他一系列的天文数据，皇
  极历也都是各取新值，它们的精度也大部分
  和前代的历法持平。
  关于天文表格的编制，皇极历也有所改
  良或创新。譬如对于月亮运动不均匀改正数
  值表（月离表）的定量分析表明：他的月亮
  过近日地点时间的误差为0。47日，达到了
  历史上比较高的精度；他的月亮每日实行度
  的测算误差为9。4′；精度高于前代各个历
  法　（误差在10。5′至27。l′不等），以后
  也只有唐末崇玄历的精度　（误差为7。0′）
  超过了它。可见皇极历的月离表是历代最优
  秀的历表之一。
  皇极历是我国古代现存最早的给出完
  整的太阳运动不均匀改正数值表　1（日躔
  Chán表）的历法。
  东汉时的天文学家刘洪（129——210）
  …　Page　17…
  在依照他的乾象历（公元206年审定）对一
  批交食食时的预推和实测记录之间的时间
  差作分析时发现，该时间差的正负、大小，
  与交食所发生的月份有较稳定的关系，并归
  纳出一年中各个不同月份应加（或减）的各
  不相同的时间修正值，此即所谓“消息术”：
  在依乾象历推算得的食时的基础上，加（或
  减）该修正值，如规定当交食发生在11月
  份时，应加一辰，发生在7月份时应减一辰，
  等等，便可得到更准确的食时。依“消息术”
  计算，在公元221——223年的5次日、月
  食食时的误差为0。6时辰，这个精度比较乾
  象历又有明显的提高。
  刘洪的这一发现和相应方法，对于交食
  研究具有非常重要的意义，他是发现了这些
  时间差的正负、大小、与交食所发生的节气
  存在稳定的关系，而节气是太阳处于它的运
  行轨道上某一个特定位置的标志。所以，产
  生上述时间差的主要原因，应是太阳运动有
  迟有疾，也就是太阳运动的不均匀性。在　11
  月份时，太阳视运动速度快，真切的食时应
  该推迟一段时间；7月份时，太阳视运动速
  度慢，真切的食时应该超前一段时间，再对
  照上面“消息术”的规定，事实和刘洪的发
  现在总体上是吻合的。这些情况都说明，刘
  洪的这些发现和相应的方法，实质上是大体
  正确地反映了太阳运动不均匀性对食时推
  …　Page　18…
  算的影响。刘洪实际上已经叩击了太阳运动
  不均匀性这一重大发现的门扉，可是他并不
  自觉，未能迈出关键的一步。
  中国古代发现太阳运动不均匀的现象
  比古希腊晚得多的主要原因，是由于中国古
  代的浑仪主要用以测量天体的赤道坐标为
  主，当用浑仪观测太阳时，太阳每日行度的
  较小变化往往被赤道坐标与黄道坐标之间
  存在的变换关系所掩盖，所以刘洪的后者不
  解他的工作中的奥妙，以致在以后的300多
  年中渐被人们遗忘。
  北齐时的天文学家张子信（主要活动于
  6世纪20到60年代）经由两个不同的途径
  发现了太阳运动不均匀的现象：
  第一：从冬至到平春分和从夏至到平秋
  分都历时91天多，而从冬至到真春分（升
  交点）历时88天多，从夏至到真秋分（降
  交点）历时93天多，所以张子信用浑仪可
  以测算知：在平春分和平秋分时，太阳的一
  个去极度都比一个象限要小一度多。由此便
  不难推知，自平春分到平秋分（也是时经半
  年）视太阳所走过的黄道速度，也就是说自
  平春分到平秋分视太阳的运动速度要小于
  自平秋分到平春分视太阳的运动速度，这就
  是张子信所说的：“日行春分后则迟，秋分
  后则速。”
  刘焯的皇极历很可能受到张子信、刘孝
  …　Page　19…
  孙等人有关方法的影响。对他的日躔表的定
  量分析显示：二十四节气太阳实行度分与平
  行度分之差的测算误差为25。2′；因太阳运
  动不均匀而加于平朔的日分改正值的误差
  为3。4刻，到唐一行（683－－727）太衍历
  （728年一行死后颁行）以后的日躔表才从
  总体上超过这一水平。
  皇极历的日躔表也存在三个大缺陷：
  第一：皇极历的日躔表以春分、秋分和
  夏至、冬至时太阳的盈缩度相同；
  第二：对春分、秋分前两个节气太阳盈
  缩度的测算存在着极大的误差；
  第三：对太阳中心差极值的测算也偏
  大。
  这三个大缺欠都极大地损害了对太阳
  运动不均匀性的整体规律的描述，也降低了
  日躔表的整体精度。在皇极历中，对二十四
  节气昼夜漏刻长度、昏旦中星度及月亮入交
  去黄道（即求月亮极黄纬）等表格也作了重
  新测算，其精度仅仅保持在前代的水平上。
  皇极历的又一重大特色，是发明和应用
  崭新的数学方法。皇极历的新法主要有等间
  距二次差内插法、等差级数法和坐标变换法
  三种。
  我们先来概括一下等间距二次差内插
  法的算式?