把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的
  周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边
  形时，得出它的边长和为6。282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边
  长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为
  3。14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中，刘徽已
  经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆木，是探求圆周率数值
  的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值
  称为“徽率”或称“徽术”。
  刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延
  22
  宗等人。何承天求得的圆周率数值为3。1428　；皮延宗求出的圆周率值为　　≈
  7
  3。14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献，可是和祖冲之
  的圆周率比较起来，就逊色多了。
  …　Page　6…
  祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘
  徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。
  它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3。1415926和3。1415927之间；
  22
  为了社会上的使用便利起见，他又用　　　　　　　　　（约等于3。14　）作为“约率”（比
  7
  355
  较简单的数）和　　　　　　　　（约等于3．1415927）称为“密率”（比较精密的数）
  133
  来表示。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数
  字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学
  家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德国
  355
  的奥托和荷兰的安托尼兹所重新得到。但是在西方数学史上，却把π=
  133
  称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西
  方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况
  的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年
  （公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率
  的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己
  的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方
  面卓越的成就。
  那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就
  是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是
  继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前
  人的重大成就。在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接
  正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是
  内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。
  祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割
  计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但
  他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切
  割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求
  得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到
  三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已
  不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3。1415927、大
  22
  于3。1415926　，圆周率的实际数值就在其中。祖冲之提出的“约率”　和
  7
  355
  “密率”　　虽然均比圆周率的实际数值为大，但前者约大千分之四，后者
  133
  大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。
  要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，
  在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是
  一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。
  通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位
  …　Page　7…
  数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在
  纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计
  算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹
  被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的
  数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多
  个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计
  算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些
  计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝
  时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重
  新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地
  重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。
  355
  “祖率”——π=　　　　　　　，让我们记住这个数字，它是祖冲之在数学方面
  133
  的杰出贡献。这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。
  祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。
  1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡
  献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖
  冲之环形山”。
  祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实
  践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容
  积的计算。
  古代有一种量器叫做“　（釜fǔ）”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，
  那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之
  利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉
  量”（另一种量器，与上面提到的　都是类似于现在我们所用的“升”等量
  器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够
  准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，
  利用“祖率”校正了数值。
  以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。
  三、数学杰作　《缀术》
  祖冲之在数学研究方面，除了圆周率外，还有其它成就，并著有《缀术》
  一书。《隋书》评论认为《缀术》理论十分深奥，计算相当精密，学问很高
  的学者也不易理解它的内容，在当时是数学理论书籍中最难的一本。
  在《缀术》中，祖冲之提出了“开差幂（mì）”和“开差立”的问题。“差幂”
  一词在刘徽为《九章算术》所作的注中就有了，指的是面积之差。“开差幂”
  即是已知长方形的面积和长宽的差，用开平方的方法求它的长和宽，它的具
  体解法已经是用二次代数方程求解正根的问题。而“开差立”就是已知长方
  …　Page　8…
  体的体积和长、宽、高的差，用开立方的办法来求它的边长；同时也包括已
  知圆柱体、球体的体积来求它们的直径的问题。所用到的计算方法已是用三
  次方程求解正根的问题了，三次方程的解法以前没有过，祖冲之的解法是一
  项创举，这是他在数学上的又一重要成就。
  《缀术》六卷，是我国历史上非常有价值的科学著作之一。隋唐时期对
  《缀术》相当重视，都把这本书列为官家学校数学科的主要教科书。在唐代，
  专学数学的人分成两组：第一组所用的教科书是历代相传的《周髀算经》、
  《九章算术》及《海岛算经》等八部数学专著，学习六年毕业；第二组所使
  用的教科书则是更深奥的《缉古算经》和《缀术》，共学习七年后毕业。其
  中《九章算术》与《海岛算经》两部书规定共学习三年；《缉古算经》是很
  深奥难懂的专著，规定学习三年；可是《缀术》规定要学习四年，学时最长。
  考试时也按这样分成两组，每组各考十道试题，而第二组中，《缀术》题要
  占六道。从以上的学制和考试制度来看，《缀术》所占的地位要超过其它的
  各种算书，因此《缀术》的科学价值和程度的玄奥高深也是可想而知的。
  随着隋唐时期中国文化的四处传播，我国的数学也随之传到了东方的日
  本。当时的日本在各方面都尽量仿效我国，多次派“遣隋使”、“遣唐使”
  来我国学习先进的科学文化与各项礼仪制度。在数学学科方面，也建立了同
  唐朝一样的学制和考试制度，《缀术》同时受到了高度的重视。但是，到了
  唐朝末年，各地藩镇割据、战乱纷纷，国家办的数学教育无法维持下去，数
  学书籍多有散失。到了赵匡胤统一全国建立起宋朝时，就仅有少数传本留传
  下来。《缀术》一书，不久也就在北宋天圣、元丰年间（公元1023—1078
  年）失传了。流传到日本以及朝鲜的《缀术》一书也都先后散佚，没有保留
  下来。这是我国古代科学文化上的巨大损失，是非常可惜的。今天，我们所
  能了解到《缀术》中的部分内容，是其它史书及数学类书所转记的。如唐代
  史学家在修《隋书》时，在这部史书的《律历志》里保存了关于祖冲之推算
  圆周率的记载并转引了几句应该是《缀术》内容中的话，文字虽少，价值却
  十分巨大。
  日本有一本记载数学史的书，叫做《见在书目》，书中记载了有个叫祖
  仲的人注解过　《九章算术》、《海岛算经》等书，我们知道祖冲之曾为《九
  章算术》作过注，祖仲应是祖冲之的笔误，并且从这里也可以知道他可能还
  注解过《海岛算经》。由此可见，祖冲之的著作和理论，不仅在隋唐的数学
  教育中占有相当的地位，而且对日本也有过很大的影响。这足以说明祖冲之
  在数学上的造诣之深和贡献之大，不愧是我国古代科技界的杰出代表。祖冲
  之的数学成果，正如同我国许多的优秀文化、科技成果一样，远在一千多年
  前，就已经在同其它国家、民族的文化交流中，作出了它的贡献。
  四、天文历法方面的成就
  …　Page　9…
  天文历法在我国历来是受到非常重视的一门科学。在祖冲之以前，这门
  科学在我国已经有了长期发展的悠久历史，取得了许多项在当时世界上遥遥
  领先的研究成果。
  早在公元前二十一世纪到公元八世纪的夏、商、西周时代，随着农业生
  产的不断发展，人们越来越注意天象气候的变化，从长期的观察中，总结出
  不少的天文知识，制定出历法。相传在远古时代已经制定出我国历史上最早
  的一部历法，